Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche - download pdf or read online

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.

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1. We describe, first and foremost in a truly formaI demeanour, our crucial goal. n allow m be an op en subset of R , with boundary am. In m and on am we introduce, respectively, linear differential operators P and Qj' zero ~ i ~ 'V. by means of "non-homogeneous boundary worth challenge" we suggest an issue of the next style: allow f and gj' zero ~ i ~ 'v, take delivery of in functionality area s F and G , F being an area" on m" and the G/ s areas" on am" ; j we search u in a functionality area u/t "on m" pleasurable (1) Pu = f in m, (2) Qju = gj on am, zero ~ i ~ 'v«])).

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Mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums folgt daraus die Stetigkeit von A in x0 . Bemerkung. Wie aus dem Beweis hervorgeht, ist die lineare Abbildung A : V → W genau dann auf ganz V stetig, wenn A im Nullpunkt stetig ist. 5) Sei C [a, b] der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R auf dem Intervall [a, b] ⊂ R, versehen mit der Supremums-Norm f := sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]}. § 2 Grenzwerte. Stetigkeit 23 Sei I : C [a, b] → R die durch das Integral I( f ) := Z b a f (x)dx gegebene lineare Abbildung.

Xn x2 · . . · xn = − n 1 n+2 . n r r Die partielle Ableitung in i-ter Koordinatenrichtung ergibt sich daraus durch Vertauschen der Rollen von x1 und xi , da F v¨ollig symmetrisch von x1 , . . , xn abh¨angt. 4) Sei n Die Funktion F ist aber auch an der Stelle x = 0 partiell differenzierbar mit F(hei ) − F(0) ∂F = 0, (0) = lim h→0 ∂xi h da F(hei ) = 0 f¨ur alle h ∈ R. Daraus folgt, dass F in ganz Rn partiell differenzierbar ist. F ist aber im Nullpunkt nicht stetig. Betrachten wir etwa die Werte von F auf der gegen 0 konvergierenden Punktfolge 1 1 , .

Beweis. Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von f (K). Nach § 2, Satz 11, ist S Vi := f −1 (Ui ) offen in X und es gilt K ⊂ i∈I Vi . Da K kompakt ist, gibt es endlich viele Indizes i1 , . . , ik ∈ I, so dass K ⊂ Vi1 ∪ . . ∪Vik . Daraus folgt f (K) ⊂ Ui1 ∪ . . d. 4) Insbesondere folgt aus Satz 6: Sind zwei metrische R¨aume X ,Y hom¨oomorph, und ist einer der beiden R¨aume kompakt, so auch der andere. Zum Beispiel ist die abgeschlossene Einheitskugel K := {x ∈ Rn : x 1} weder zur offenen Einheitskugel noch zum ganzen Rn hom¨oomorph; vgl.

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Edward
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