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By Robert Sauer

ISBN-10: 364252799X

ISBN-13: 9783642527999

ISBN-10: 3642528007

ISBN-13: 9783642528002

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der paintings dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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H. 9), und zwar sind für a2 ~ 1 die Charakteristiken der Differentialgleichung flacher bzw. steiler als die Diagonalen des Quadratgitters. Infolgedessen greift der für a2 ~ 1 gemeinsame Bestimmtheitsbereich der Differenzengleichung bei a2 > 1 über den Bestimmtheitsbereich der Differentialgleichung hinaus und stellt bei a2 < 1 nur einen Teil dieses Bestimmtheitsbereiches dar. Der zu einem Gitterpunkt P gehörende Einflußbereich der Differentialgleichung (Abb. 11) reicht bei a2 > 1 weiter und bei a2 < 1 weniger weit als der Einflußbereich der Differenzengleichung.

Außerdem beschränken wir uns bis auf weiteres auf wirbelfreie und isentropische Strömungen, d. h. 1) rotb = 0, und nehmen an, daß der Druck eine umkehrbar eindeutige, stetig differenzierbare Funktion p(e) der Dichte e ist. 2) 1 Vgl. z. B. R. SAUER: Einführung in die theoretische Gasdynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1951. § 6. HyperbolischeDifferentialgleichungen in der Gasdynamik undAkustik. 27 eine Größe a, die wir alsbald als Schallgeschwindigkeit (= Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Störung) erkennen werden.

7) in die durch die GIn. 2) definierten Charakteristiken über. Durch jede dieser Charakteristiken geht ein Büschel charakteristischer Streifen; diese Büschel entsprechen den Integralkonoiden der nichtquasilinearen Differentialgleichungen. Man sieht also, daß im nichtquasilinearen Fall sowohl die charakteristischen Kurven als auch die charakteAbb. 18. ristischen Streifen eine 3-parametrige Menge bilden, während im quasilinearen Fall eine 2-parametrige Menge charakteristischer Kurven und eine 3- parametrige Menge charakteristischer Streifen vorliegt.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


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